机器学习整理(逻辑回归)

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二分类问题

问题定义:给定一些特征,给其分类之一。 假设函数 $h(x)$ 定义: $$ h(x) = g(\theta^Tx) $$ $$ g(z) = \dfrac{1}{1 +e^{-z}} $$

决策边界:

当 $h(x) >= 0.5$ 的时候,y 更有可能预测为 1。

当 $h(x) < 0.5$ 的时候,y 更有可能预测为 0。

当 z 的值为 0,也就是 $\theta^Tx$ = 0 时就是区分两种分类的决策边界。 决策边界可能是直线,也有可能是曲线、圆。

代价函数

$g(x)$ 是一个“非凸函数”,如果将点距离公式带入到逻辑回归中,就会存在很多局部最优解。 新的代价函数定义:

定义的代价函数图像和原因如下:

如果预测是/接近 0,但是实际的y是 1,这样代价函数的值就会非常大,以此来惩罚(修正)代价函数,而我们需要将代价函数最小化才能计算出 $h(x)$ 的参数 θ。

因为总是存在 $y = 0 $ 或 $y = 1$ ,所以可以将代价函数合并: $$ J(\theta) = -\frac{1}{m} [\sum_{i=1}^{m}y_ilog(h(x_i)) + (1-y_i)log(1-h(x_i)) ] $$ 梯度下降的算法和之前一致,只不过偏导数相对复杂一些。

多分类问题

将多个类别的分类,转化成一对一的分类(分类器),每一个分类器相当于在计算属于自己那个分类的逻辑回归。

进行预测时:选择 $max(h_i(x))$ 的分类器,也就是概率最高的一个,如图(右侧)。